Question

10．已知函數(shù)f（x）=-cos²x-sinx+2．
（1）若x∈R，求f（x）的最大值與最小值；
（2）若x∈[-$\frac{π}{6}$，π]，求f（x）的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）令sinx=t，當(dāng)x∈R時(shí)，t∈[-1，1]，換元可得y=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得；
（2）令sinx=t，當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，π]時(shí)，t∈[-$\frac{1}{2}$，1]，同（1）可得．

解答 解：（1）令sinx=t，當(dāng)x∈R時(shí)，t∈[-1，1]，
換元可得y=-cos²x-sinx+2=t²-t+1=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
由二次函數(shù)可知當(dāng)t=-1時(shí)，函數(shù)取最大值3，
當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)取最小值$\frac{3}{4}$；
（2）令sinx=t，當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，π]時(shí)，t∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
換元可得y=-cos²x-sinx+2=t²-t+1=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
由二次函數(shù)可知當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)取最大值$\frac{7}{4}$，
當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)取最小值$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的最值，換元并利用二次函數(shù)區(qū)間的最值是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．