Question

設(shè)F是橢圓的左焦點，直線l為其左準(zhǔn)線，直線l與x軸交于點P，線段MN為橢圓的長軸，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過點P的直線與橢圓相交于不同兩點A、B求證：∠AFM=∠BFN．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求橢圓方程，只需求出a，b的值即可，根據(jù)|MN|=8，且|PM|=2|MF|可得a，c的值，再利用橢圓中，a，b，c的關(guān)系就可求出b值．
（2）欲證∠AFM=∠BFN，只需證明直線AF與BF傾斜角互補，即斜率互為負倒數(shù)即可，當(dāng)AB斜率為0時，顯然直線AF與BF傾斜角互補，當(dāng)AB斜率不為0時，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，求出x₁+x₂，x₁x₂，設(shè)出A，B點坐標(biāo)，把直線AF，BF的斜率用A，B點坐標(biāo)表示，再根據(jù)前面求出的x₁+x₂，x₁x₂，化簡，即可判斷．
解答：解（1）∵|MN|=8∴a=4
，∴
化簡得，a²-3ac+2c²=0，兩邊同除a²，得，

又∵a=4，∴c=2，
∴
（2）當(dāng)AB的斜率為0時，顯然∠AFM=∠BFN=0．滿足題意
當(dāng)AB的斜率不為0時，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB方程為x=my-8，
代入橢圓方程，整理得（3m²+4）y²-48my+144=0
則
∴=
∴k_AF+k_BF=0，從而∠AFM=∠BFN．
綜上可知：恒有∠AFM=∠BFN．
點評：本題主要考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷，做題時注意應(yīng)用韋達定理．