Question

如圖，在正三棱錐A-BCD中，底面正三角形BCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AC⊥DE，則正三棱錐A-BCD的體積是

2

3

．

Answer 1

分析：先證明AC⊥面ABD，再求AB長(zhǎng)，利用三棱錐的換底性代入體積公式求解．

解答：解：過(guò)A作AO⊥平面BCD，連接CO并延長(zhǎng)角BD于F，
根據(jù)正棱錐的性質(zhì)，O為底面正三角形的中心，∴CO⊥BD，
又CO為AC在平面BCD中的射影，由三垂線定理得：AC⊥BD，
又AC⊥DE，DE∩AB=E，
∴AC⊥面ABD，即AC、AB、AD相互垂直
∴AB=AC=AD=

2

，
故V_A-BCD=V_C-ABD=

1

3

×

1

2

×AB×AC×AD=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×

2

=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查椎體體積計(jì)算公式，考查空間想象能力，由題意證明AC⊥平面ABD，利用三棱錐的換底性求解是解答本題的關(guān)鍵．