Question

設(shè)集合P={t|數(shù)列a_n=n²+tn（n∈N^*）單調(diào)遞增}，集合Q={t|函數(shù)f（x）=kx²+tx在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增}，若“t∈P”是“t∈Q”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)k的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：分別求出集合P，Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的取值范圍，利用充分條件和必要條件的定義，即可得到結(jié)論．

解答： 解：若數(shù)列a_n=n²+tn（n∈N^*）單調(diào)遞增，
則a_n+1＞a_n，
即（n+1）²+t（n+1）＞n²+tn，
即t＞-1-2n，
∵-1-2n≤-3，
∴t＞-3；
當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=tx在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增不成立，
∴k≠0，則必有k＞0，
要使當(dāng)t＞-3，函數(shù)f（x）=kx²+tx在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，
則對(duì)稱軸-

t

2k

≤1，
即-t≤2k，
即k≥-

t

2

，
∵t＞-3，∴-t＜-

t

2

＜

3

2

，
∴k≥

3

2

，
∴若“t∈P”是“t∈Q”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)k的最小值為k=

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用，利用參數(shù)分離法是解決本題的關(guān)鍵．