Question

設(shè)f（x）=lnx，g（x）=f′（x）+lnx
（1）求g（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值．　
（2）討論g（x）與的大小關(guān)系．
（3）是否存在x₀＞0，使得對(duì)任意x＞0成立？若存在，求出x₀的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解（1）由題意可知：
∴
令g′（x）=0得x=1
∵0＜x＜1g′（x）＜0x＞1，g′（x）＞0
∴x=1是g（x）的唯一極小值點(diǎn)
∴最小值為g（1）=1
（2）
設(shè)
則
當(dāng)x=1時(shí) F（1）=0即
當(dāng)0＜x＜1時(shí) F¹（x）＜0F（1）=0
∴
即
當(dāng)x＞1時(shí) F¹（x）＜0F（1）=0
∴
即
（3）假設(shè)?x₀＞0，使對(duì)?x＞0
成立即
取
則lnx=g（x₀）
這與lnx＜g（x₀）矛盾
因此不存在x₀＞0，使對(duì)任意x＞0成立．
分析：（1）通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的極值點(diǎn)，然后推出g（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值．
（2）構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)x分類(lèi)討論，推出g（x）與的大小關(guān)系．
（3）利用反證法，設(shè)存在x₀＞0，使得對(duì)任意x＞0成立，導(dǎo)出矛盾結(jié)論，說(shuō)明不存在滿(mǎn)足題意的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的最值判斷函數(shù)值的大小，反證法證明存在性問(wèn)題的方法，考查邏輯推理能力與計(jì)算能力．