Question

如圖，在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的項(xiàng)點(diǎn)A的仰角為θ，沿B前進(jìn)30米至C點(diǎn)處測(cè)得頂點(diǎn)A的仰角為2θ，再繼續(xù)前進(jìn)10

3

米至D點(diǎn)，測(cè)得頂點(diǎn)A的仰角為4θ，求θ的大小及建筑物AE的高．

Answer 1

分析：由題意及仰角的定義畫(huà)出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想，利用圖形中角與角的聯(lián)系及三角形求解即可．

解答：解：由已知BC=30米，CD=10

3

米，∠ABE=θ，∠ACE=2θ，∠ADE=4θ，
在Rt△ABE中，BE=AEcotθ，
在Rt△ACE中，CE=AEcot2θ，
∴BC=BE-CE=AE（cotθ-cot2θ）．
同理可得：CD=AE（cot2θ-cot4θ）．
∴

BC

DC

=

AE(cotθ-cot2θ)

AE(cot2θ-cot2θ)

即

cotθ-cot2θ

cot2θ-cot4θ

=

30

10 3

=

3

而cotθ-cot2θ=

cosθ

sinθ

-

cos2θ

sin2θ

=

sin2θcosθ-cos2θsinθ

sinθsin2θ

=

1

sin2θ

．
同理可得cot2θ-cot4θ=

1

sin4θ

．
∴

cotθ-cot2θ

cot2θ-cot4θ

=

sin4θ

sin2θ

=2cos2θ=

3

∴cos2θ=

3

2

，結(jié)合題意可知：2θ=30°，θ=15°，
∴AE=

BC

cotθ-cot2θ

=BCsin2θ=15（米）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生會(huì)從題意中抽取出圖形進(jìn)而分析問(wèn)題，還考查了學(xué)生們利用三角形解出三角形的邊與角，及二倍角的正切公式．