在空間四邊形ABCD中，求證：
AB
•
CD
+
AC
•
DB
+
AD
•
BC
=0．
分析：證法一：把
AB
拆成
AC
+
CB
后重組，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算律進行運算求解．
證法二：利用數(shù)形結(jié)合，將
DA
，
DB
，
DC
設(shè)為基底向量
a
、
b
、
c
，利用向量的幾何意義表示出各未知向量，進而求解．
解答：精英家教網(wǎng)證法一：把
AB
拆成
AC
+
CB
后重組，
AB
•
CD
+
AC
•
DB
+
AD
•
BC
=（
AC
+
CB
）•
CD
+
AC
•
DB
+
AD
•
BC
=
AC
•
CD
+
CB
•
CD
+
AC
•
DB
+
AD
•
BC
=
AC
•（
CD
+
DB
）+
CB
•（
CD
+
DA
）=
AC
•
CB
+
CB
•
CA
=
CB
•（
AC
+
CA
）=
CB
•0=0．
證法二：如圖，設(shè)a=
DA
，b=
DB
，c=
DC
，則
AB
•
CD
+
AC
•
DB
+
AD
•
BC
=（b-a）•（-c）+（c-a）•b+
（-a）•（c-b）=-b•c+a•c+c•b-a•b-a•c+a•b=0．
點評：本題考查了向量數(shù)量積的運算，是高考考查的重點，其中證法二利用了平面向量基本定理和數(shù)形結(jié)合的思想，有效地簡化了運算．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

8、在空間四邊形ABCD的各邊AB，BC，CD，DA上依次取點E，F(xiàn)，G，H，若EH、FG所在直線相交于點P，則（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H使
AE
EB
=
AH
HD
=1，
CF
FB
=
CG
GD
=
1
2
，則（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在空間四邊形ABCD中，連接AC、BD，若△BCD是正三角形，且E為其中心，則
AB
+
1
2
BC
-
3
2
DE
-
AD
化簡后的結(jié)果為（　�。�
A、
AB
B、2
BD
C、
0
D、2
DE

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•順義區(qū)一模）如圖，已知在空間四邊形ABCD中，AB=AC=DB=DC，E為BC的中點．
（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面ABC；
（Ⅱ）若AB=5，BC=6，AD=4，求幾何體ABCD的體積；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若G為△ABD的重心，試問在線段BC上是否存在點F，使GF∥平面ADE？若存在，請指出點F在BC上的位置，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點．若AC=BD=a，若四邊形EFGH的面積為
3
8
a2，則異面直線AC與BD所成的角為（　�。�
A、30°B、60°
C、120°D、60°或120°

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