Question

2．等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₇=-23，若數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和為-$\frac{14}{55}$，則n=（　　）

• A． 14
• B． 15
• C． 16
• D． 18

Answer 1

分析 設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用通項公式可得a_n=5-4n．可得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{4n-5}-\frac{1}{4n-1}）$，即可得出．

解答 解：設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₁=1，a₇=-23，
∴-23=1+6d，解得d=-4．
∴a_n=1-4（n-1）=5-4n．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（5-4n）（1-4n）}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{4n-5}-\frac{1}{4n-1}）$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和=$\frac{1}{4}[（-1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{4n-5}-\frac{1}{4n-1}）]$
=$\frac{1}{4}（-1-\frac{1}{4n-1}）$，
令$\frac{1}{4}（-1-\frac{1}{4n-1}）$=-$\frac{14}{55}$，
則n=14．
故選：A．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．