Question

已知橢圓C：的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A，B都在以點(diǎn)M（0，3）為圓心的圓上，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)為，可求a，c的值，從而可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)將直線l的方程代入橢圓C的方程，確定線段AB的中點(diǎn)為D，利用點(diǎn)A，B都在以點(diǎn)（0，3）為圓心的圓上，得k_MD•k=-1，由此可求k的值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，則．              …（1分）
由，得 ，從而b²=a²-c²=4．    …（4分）
所以，橢圓C的方程為．                    …（5分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
將直線l的方程代入橢圓C的方程，消去y得：4（1+3k²）x²-60kx+27=0．             …（7分）
由△=3600k²-16（1+3k²）×27＞0，得，且． …（9分）
設(shè)線段AB的中點(diǎn)為D，則，．…（10分）
由點(diǎn)A，B都在以點(diǎn)（0，3）為圓心的圓上，得k_MD•k=-1，…（11分）
即 ，解得 ，符合題意．  …（13分）
所以 ．                          …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，正確求橢圓方程是關(guān)鍵．