Question

已知集合A={x|x²-2x-a=0，x∈R}，B={x|x²-4x+a+6=0，x∈R}
（1）若A=B=∅，求a的取值范圍；
（2）若A和B中至少有一個是∅，求a的取值范圍；
（3）若A和B中有且只有一個是∅，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：集合的包含關系判斷及應用

專題：集合

分析：（1）首先，結(jié)合條件A=B=∅，即方程x²-2x-a=0和方程x²-4x+a+6=0無實根，從而得到a的取值范圍；
（2）可以求解A≠∅，B≠∅的情形，然后，求解它的補集即可；
（3）分情況進行討論，分為：A=∅，B≠∅；A≠∅，B=∅兩種情形．

解答： 解：（1）∵A=B=∅，
∴方程x²-2x-a=0和方程x²-4x+a+6=0無實根，
∴

4+4a＜0 16-4(a+6)＜0

，
∴

a＜-1 a＞-2

，
∴-2＜a＜-1，
∴a的取值范圍為（-2，-1）．
（2）當A≠∅，B≠∅時，
∴方程x²-2x-a=0和方程x²-4x+a+6=0都有實根，
∴

4+4a≥0 16-4(a+6)≥0

∴

a≥-1 a≤-2

，
∴a∈∅，
∴A和B中至少有一個是∅，求a的取值范圍為（-∞，+∞）；
（3）根據(jù)（1）
若A=∅，B≠∅；
∴

a＜-1 a≤-2

，
∴a≤-2，
若A≠∅，B=∅
∴

a≥-1 a＞-2

，
∴a≥-1，
∴a∈（-∞，-2]∪[-1，+∞）．

點評：本題重點考查集合的基本運算，結(jié)合一元二次方程根進行分類討論，屬于中檔題．