Question

已知向量

a

=(

3

sin(π-ωx)，cosωx)，

b

=(cosωx，-cosωx)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

+

1

2

（ω＞0）的圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為

π

4

．
（1）求ω值；
（2）若cosx≥

1

2

，x∈(0，π)，且f（x）=m有且僅有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析：符號(hào)錯(cuò)誤：w應(yīng)該是ω．
（1）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算求出f（x）=sin（2ωx-

π

6

），再根據(jù)圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為

π

4

求得ω=2．
（2）若cosx≥

1

2

，x∈(0，π)，求得-

1

2

≤sin（4x-

π

6

）≤1，令t=4x-

π

6

，h（t）=sint，t∈（-

π

6

，

7π

6

]，則函數(shù) h（t）的圖象和直線y=m只有一個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求出m的值

解答：解：（1）函數(shù)f(x)=

a

•

b

+

1

2

=

3

sin（π-ωx）cosωx-cos²ωx+

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1+cos2ωx

2

+

1

2

=sin（2ωx-

π

6

），
再由函數(shù)f（x）的圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為

π

4

可得

1

2

•

2π

2ω

=

π

4

，解得ω=2，函數(shù)f（x）=sin（4x-

π

6

）．
（2）若cosx≥

1

2

，x∈(0，π)，則有 0＜x≤

π

3

，-

π

6

＜4x-

π

6

≤

7π

6

，-

1

2

≤sin（4x-

π

6

）≤1．
由f（x）=m有且僅有一個(gè)實(shí)根，可得函數(shù)f（x） 的圖象和直線y=m只有一個(gè)交點(diǎn)．
令t=4x-

π

6

，h（t）=sint，t∈（-

π

6

，

7π

6

]，則函數(shù) h（t）的圖象和直線y=m只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：
數(shù)形結(jié)合可得∴m=1，或m=-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象特征，由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．