Question

橢圓C的中心坐標為原點O，焦點在y軸上，焦點到相應準線的距離以及離心率均為

2

2

，直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A且

AP

=λ

PB

．
（1）求橢圓方程；
（2）若

OA

+λ

OB

=4

OP

，求m的取值范圍?．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求橢圓的方程，設(shè)出橢圓C的標準方程，依條件得出a，b的方程，求出a，b即得橢圓C的方程．
（2）先設(shè)l與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量條件即可求得m的取值范圍，從而解決問題．

解答：解：（1）設(shè)橢圓C的方程：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，則c²=a²-b²，由條件知

a2

c

-c=

b2

c

=

2

2

，

c

a

=

2

2

，所以a=1，b=c=

2

2

，
故橢圓C的方程為y²+2x²=1．（4分）
（2）由

AP

=λ

PB

，得

OP

-

OA

=λ(

OB

-

OP

)，
∴

OA

+λ

OB

=(1+λ)

OP

．
∵

OA

+λ

OB

=4

OP

，
∴λ+1=4，λ=3．
設(shè)l與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

y=kx+m 2x2+y2=1

得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0，
因此△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）
=4（k²-2m²+2）＞0，①
則x₁+x₂=

-2km

k2+2

，x1x2=

m2-1

k2+1

．
∵

AP

=3

PB

，∴-x₁=3x₂，得

x1+x2=-2x2 x1x2=-3 x 2 2

得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴3(

-2km

k2+2

)2+4

m2-1

k2+2

=0，
整理得：4k²m²+2m²-k²-2=0．
當m2=

1

4

時，上式不成立．
∴m2≠

1

4

，k2=

2-2m2

4m2-1

．
由①式得k²＞2m²-2，
∵λ=3，∴k≠0，k2=

2-2m2

4m2-1

＞0，
所以-1＜m＜-

1

2

或

1

2

＜m＜1．
即所求m的取值范圍為(-1，-

1

2

)∪(

1

2

，1)（14分）

點評：本題考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設(shè)計新穎，基礎(chǔ)性強 待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，向量問題，成為解決本題的關(guān)鍵．