Question

已知⊙C：x²+y²+2x-4y+1=0．
（1）若⊙C的切線在x軸、y軸上截距相等，求切線的方程．
（2）從圓外一點(diǎn)P（x₀，y₀）向圓引切線PM，M為切點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)與半徑，
（1）分兩種情況：當(dāng)切線過(guò)原點(diǎn)時(shí)設(shè)為y=kx，由圓心到切線的距離等于圓的半徑列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值；當(dāng)切線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)為x+y=a，同理求出a的值，即可確定出切線方程；
（2）根據(jù)|PM|=|PO|，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)系式，得到x₀與y₀的關(guān)系式，用y₀表示出x₀，代入|PM|中，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出|PM|最小時(shí)y₀的值，進(jìn)而確定出x₀的值，即可確定出此時(shí)P的坐標(biāo)．

解答：解：⊙C：（x+1）²+（y-2）²=4，圓心C（-1，2），半徑r=2，
（1）若切線過(guò)原點(diǎn)設(shè)為y=kx，則

|-k-2|

1+k2

=2，
解得：k=0或

4

3

，
若切線不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)為x+y=a，則

|-1+2-a|

2

=2，
解得：a=1±2

2

，
則切線方程為：y=0，y=

4

3

x，x+y=1+2

2

和x+y=1-2

2

；
（2）∵|PM|=|PO|，即

x02+y02+2x0-4y0+1

=

x02+y02

，
∴2x₀-4y₀+1=0，
對(duì)于|PM|=

x02+y02+2x0-4y0+1

=

5y02-2y0+ 1 4

，
∵P在⊙C外，
∴（x₀ +1）²+（y₀-2）²＞4，
將x₀=2y₀-

1

2

代入得5y₀²-2y₀+

1

4

＞0，
∴當(dāng)y₀=

1

5

時(shí)，5y₀²-2y₀+

1

4

最小，此時(shí)|PM|最小，x₀=2y₀-

1

2

=-

1

10

，
∴|PM|min=

1

20

，此時(shí)P（-

1

10

，

1

5

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的切線方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與圓的位置關(guān)系，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．