已知橢圓C：（）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)F為橢圓C的左焦點，T為直線上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q.
（i）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點）；
（ii）當(dāng)最小時，求點T的坐標(biāo).
(1) ；（2）

試題分析：（1）因為焦距為4，所以，又，由此可求出的值，從而求得橢圓的方程.（2）橢圓方程化為.設(shè)PQ的方程為，代入橢圓方程得：.（�。┰O(shè)PQ的中點為，求出，只要，即證得OT平分線段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：.
再根據(jù)取等號的條件，可得T的坐標(biāo).
試題解答：（1），又.
（2）橢圓方程化為.
（�。┰O(shè)PQ的方程為，代入橢圓方程得：.
設(shè)PQ的中點為，則
又TF的方程為，則得，
所以，即OT過PQ的中點，即OT平分線段PQ.
（ⅱ），又，所以
.
當(dāng)時取等號，此時T的坐標(biāo)為.
【考點定位】1、橢圓的方程；2、直線與圓錐曲線；3、最值問題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

拋物線x2=ay的準(zhǔn)線方程為y=2，則a的值為（　�。�
A．8B．-8C．
1
8
D．-
1
8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

直線l：y=x+b與拋物線C：x2=4y相切于點A．
（Ⅰ）求實數(shù)b的值，及點A的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求過點B（0，-1）的拋物線C的切線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F1(－1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a>1)的點的軌跡．給出下列三個結(jié)論：
①曲線C過坐標(biāo)原點；
②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；
③若點P在曲線C上，則△F1PF2的面積不大于a2．
其中，所有正確結(jié)論的序號是________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

過雙曲線的右頂點作軸的垂線與的一條漸近線相交于.若以的右焦點為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過，則雙曲線的方程為（  ）
      B.    C.      D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知的三個頂點在拋物線：上，為拋物線的焦點，點為的中點，；
（1）若，求點的坐標(biāo)；
（2）求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，，，的面積為.
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)圓心在軸上的圓與橢圓在軸的上方有兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點，求圓的半徑..

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的右焦點為,離心率,是橢圓上的動點．
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與的斜率乘積,動點滿足,（其中實數(shù)為常數(shù)）．問是否存在兩個定點,使得？若存在,求的坐標(biāo)及的值；若不存在,說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知、為橢圓的左右焦點，點為其上一點，且有
.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過的直線與橢圓交于、兩點，過與平行的直線與橢圓交于、兩點，求四邊形的面積的最大值.

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