Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$如圖所示．
（Ⅰ）作出向量2$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$（請保留作圖痕跡）；
（Ⅱ）若|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為45°，求$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$的夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）運(yùn)用向量的加減運(yùn)算的幾何性質(zhì)求解繪畫，
（II）根據(jù)向量的運(yùn)算得出$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{1+4+2\sqrt{2}}$=$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$，$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{1+4-2\sqrt{2}}$$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$
利用夾角得出cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$，求解即可．

解答 解：（I）先做出2$\overrightarrow{a}$，再作出$\frac{1}{2}\overrightarrow$，最后運(yùn)用向量的減法得出2$\overrightarrow{a}$$-\frac{1}{2}\overrightarrow$，如圖表示紅色的向量，

（II）設(shè)$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow$的夾角θ，
∵|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為45°
∴$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=1×2×cos45°=$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{1+4+2\sqrt{2}}$=$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$，
$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{1+4-2\sqrt{2}}$$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$，（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）$•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$=1-4=-3，
cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$=$\frac{-3}{\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}}}$=$\frac{-3}{\sqrt{5+2\sqrt{2}}×\sqrt{5-2\sqrt{2}}}$=$\frac{-3}{\sqrt{17}}$=$-\frac{3\sqrt{17}}{17}$．

點評 本題考察了平面向量的加減運(yùn)算，數(shù)量積，向量的模的計算，屬于向量的典型的題目，難度不大，計算準(zhǔn)確即可．