Question

已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]
（1）求

a

•

b

及|

a

+

b

|（結(jié)果化為最簡(jiǎn)形式）
（2）若f（x）=

a

•

b

-2|

a

+

b

|的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、模的計(jì)算公式、倍角公式即可得出；
（2）利用數(shù)量積運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性、余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）

a

•

b

=cos

3x

2

•cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x，|

a

|=

cos2 3x 2 +sin2 3x 2

=1，同理可得|

b

|=1．
∴|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

2+2cos2x

4cos2x

，
∵x∈[0，

π

2

]，∴|

a

+

b

|=2cosx．
（2）f（x）=

a

•

b

-2|

a

+

b

|=cos2x-4cosx=2cos²x-4cosx-1=2（cosx-1）²-3，
∵x∈[0，

π

2

]，∴cosx∈[0，1]．
∴當(dāng)cosx=0時(shí)，f（x）取得最大值-1，當(dāng)cosx=1時(shí)，f（x）取得最小值-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、模的計(jì)算公式、倍角公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．