Question

已知定義在R上的偶函數(shù)滿足：f（x+4）=f（x）+f（2），且當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，y=f（x）單調(diào)遞減，給出以下四個(gè)命題：
①f（2）=0；  
②x=4是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸；  
③函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[6，8]上單調(diào)遞增；
④若方程f（x）=0．在區(qū)間[-2，2]上有兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=0．
以上命題正確的是

 

．（填序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①由于f（x+4）=f（x）+f（2），令x=-2，及函數(shù)f（x）是偶函數(shù)即可得出；
②由①可知：f（x+4）=f（x），可得周期T=4，再利用函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱，可得x=4也是其對(duì)稱軸；
③當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，y=f（x）單調(diào)遞減，又函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，可得函數(shù)f（x）在x∈[0，2]時(shí)單調(diào)遞增．再利用其周期性可得：函數(shù)f（x）在區(qū)間[6，8]上單調(diào)遞增；
④利用當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，y=f（x）單調(diào)遞減，f（2）=0，可知：在x∈[0，2]時(shí)，只有f（2）=0．
同理在區(qū)間[-2，0）上只有f（-2）=0，即可得出．

解答： 解：①∵f（x+4）=f（x）+f（2），令x=-2，則f（-2+4）=f（-2）+f（2），∴f（2）=2f（2），解得f（2）=0，因此①正確；
②由①可知：f（x+4）=f（x），∴f（4-x）=f（-x）=f（x），∴x=2是函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸，周期T=4，
又函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱，因此x=4也是其對(duì)稱軸，故正確；
③當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，y=f（x）單調(diào)遞減，又函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，∴函數(shù)f（x）在x∈[0，2]時(shí)，y=f（x）單調(diào)遞增．∵T=4，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[6，8]上單調(diào)遞增，因此正確；
④∵當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，y=f（x）單調(diào)遞減，f（2）=0，∴當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）＞0，不妨取x₂=2，
則f（x₂）=0．同理在區(qū)間[-2，0）上只有f（-2）=0，取x₁=-2，滿足f（x₁）=0．
可知：x₁+x₂=-2+2=0．因此正確．
綜上可知：①②③④都正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性，考查了推理能力和數(shù)形結(jié)合能力，屬于難題．