Question

已知函數(shù)f（x）=x²-x+alnx
（1）當x≥1時，f（x）≤x²恒成立，求a的取值范圍；
（2）討論f（x）在定義域上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）先利用參數(shù)分離法將a分離出來，然后研究函數(shù)的最值，使參數(shù)a恒小于函數(shù)的最小值即可；
（2）先確定函數(shù)的定義域然后求導數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，主要進行分離討論．

解答：解：（1）由f（x）≤x²恒成立，得：alnx≤x在x≥1時恒成立
當x=1時a∈R（2分）
當x＞1時即a≤

x

lnx

，令g(x)=

x

lnx

，g′(x)=

lnx-1

ln2x

 （4分）
x≥e時g'（x）≥0，g（x）在x＞e時為增函數(shù)，g（x）在x＜e時為減函數(shù)
∴g_min（x）=e∴a≤e（6分）
（2）解：f（x）=x²-x+alnx，f′（x）=2x-1+

a

x

=

2x2-x+a

x

，x＞0
（1）當△=1-8a≤0，a≥

1

8

時，f′（x）≥0恒成立，
f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．（8分）
（2）當a＜

1

8

時
①當0＜a＜

1

8

時，

1+ 1-8a

4

＞

1- 1-8a

4

＞0，
f（x）在[

1- 1-8a

4

，

1+ 1-8a

4

]上為減函數(shù)，
f（x）在(0，

1- 1-8a

4

]，[

1+ 1-8a

4

，+∞)上為增函數(shù)．（11分）
②當a=0時，f（x）在（0，1]上為減函數(shù)，f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)（12分）
③當a＜0時，

1- 1-8a

4

＜0，故f（x）在（0，

1+ 1-8a

4

]上為減函數(shù)，
f（x）在[

1+ 1-8a

4

，+∞）上為增函數(shù)．（14分）

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，屬于中檔題．