函數(shù)f(x)=ax-
1
x
(x＞0，a＞0且a≠1），存在實(shí)數(shù)m＜n使不等式f（x）＞0的解集為（m，n），則a的取值范圍是
（e
-lnm
m
，1）∪（1，+∞）
（e
-lnm
m
，1）∪（1，+∞）
．
分析：已知要使f（x）＞0在（m，n）上恒成立，需要對(duì)a進(jìn)行討論；a＞1或者a＜1，然后利用不等式進(jìn)行求解；
解答：解：已知函數(shù)f(x)=ax-
1
x
(x＞0，a＞0且a≠1），存在實(shí)數(shù)m＜n使不等式f（x）＞0
①若0＜a＜1，要使f(x)=ax-
1
x
＞0，則ax＞
1
x
，
令h（x）=ax，g（x）=
1
x
，有交點(diǎn)，存在x=t，使at=
1
t
，當(dāng)x＞t時(shí)，ax＞
1
x
，此時(shí)m＞t，
可得am＞
1
m
，解得a＞e
-lnm
m
，
∴e
-lnm
m
＜a＜1；
②若a＞1，則a＞e
-lnm
m
也成立，
則同樣有ax＞
1
x
，
∴a的取值范圍為：（e
-lnm
m
，1）∪（1，+∞），
故答案為：（e
-lnm
m
，1）∪（1，+∞）；
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，還考查了分類討論的思想，這是高考每年必考的考點(diǎn)，學(xué)生一定要掌握．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f(x)=
ax+2b
1+x2
是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(1)=
1
2
．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）解不等式f(2-t)+f(
t
5
)＜0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
ax，(x＜0)
(a-3)x+4a，(x≥0)
滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1≠x2都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在區(qū)間（-1，1）上的函數(shù)f(x)=
ax+b
1+x2
為奇函數(shù)，且f(
1
2
)=
2
5
．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）用定義證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）解關(guān)于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
ax-1x+1
，  其中 a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)滿足f（x）≤1時(shí)的x的集合；
（2）求a的取值范圍，使f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=ax+
a-1x
 (a∈R)，g（x）=lnx．
（1）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在x=x0處的切線斜率總相等，求x0的值；
（2）若a＞0，對(duì)任意x＞0，不等式f（x）-g（x）≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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