Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax-（a+2）lnx-2
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求證：當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥0．
（2）若a＜-2，探求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）求證：

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

lnn

＞

11

6

-（

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

）（n≥4，n∈N^*）

Answer 1

（1）證明：∵a=1，x≥1時(shí)，f′(x)=

(2x+3)(x-1)

x

≥0，
∴f（x）在[1，+∞）為增函數(shù)，
∴f（x）≥f（1）=0；
（2）f′(x)=

(2x+a+2)(x-1)

x

(x＞0)
∴a∈（-4，-2）時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(0，-

a+2

2

)，(1，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(-

a+2

2

，1)；
a=-4，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0+∞）；
a＜-4時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），(-

a+2

2

，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(1，-

a+2

2

)；
（3）證明：由（1）得：當(dāng)x＞1時(shí)，x²+x-2＜3lnx，
∴

(x-1)(x+2)

3

＞lnx
∴

1

lnx

＞

1

x-1

-

1

x+2

∴

1

ln2

＞

1

2-1

-

1

2+2

，

1

ln3

＞

1

3-1

-

1

3+2

，

1

ln4

＞

1

4-1

-

1

4+2

，…，

1

lnn

＞

1

n-1

-

1

n+2

∴

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

lnn

＞（1+

1

2

+

1

3

）-（

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

）=（

11

6

-（

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

）