Question

已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)是(0，-)和(0，)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，拋物線(xiàn)E的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F恰好是橢圓C的右頂點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓C和拋物線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F作兩條斜率都存在且互相垂直的直線(xiàn)l1、l2，l1交拋物線(xiàn)E于點(diǎn)A、B，l2交拋物線(xiàn)E于點(diǎn)G、H，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（I）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；拋物線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）最小值為16．

【解析】

試題分析：（I）由題意得c=，，從而=1，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．該橢圓右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)，即拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為(1，0)，所以，拋物線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（Ⅱ）設(shè)l1的方程：，l2的方程，，，，.注意，且它們交于點(diǎn)，所以可將作如下變形： ==||·||+||·||，這樣先將||·||+||·||用表示出來(lái)，再利用韋達(dá)定理用表示，從而求得其最小值.

試題解析：（I）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>b>0)，焦距為2c，

則由題意得c=，，

∴a=2，=1，

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 4分

∴右頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)．

設(shè)拋物線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

∴，

∴拋物線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 6分

（Ⅱ）設(shè)l1的方程：，l2的方程，

，，，，

由 消去y得：，

∴ x1+x2=2+，x1x2=1．

由消去y得：x2-(4k2+2)x+1=0，

∴x3+x4=4k2+2，x3x4=1， 9分

∴

=

=||·||+||·||

=|x1+1|·|x2+1|+|x3+1|·|x4+1|

=(x1x2+x1+x2+1)+(x3x4+x3+x4+1)

=8+

≥8+

=16．

當(dāng)且僅當(dāng)即k=±1時(shí)，有最小值16． 13分

考點(diǎn)：1、橢圓與拋物線(xiàn)；2、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn).