Question

已知圓C的圓心在直線x-y=0上，且過定點(diǎn)A（

5

，2

5

），B（-3，-4）．
（1）求圓C的方程；
（2）求斜率為2且與圓C相切的直線的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)圓C方程為（x-a）²+（y-a）²=r²，代入A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，解得a=0且r²=25，可得圓C的方程；
（2）設(shè)所求切線的方程為2x-y+m=0，切線到圓心的距離等于半徑，由此利用點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于m等式，解出m的值即可得到所求切線方程．

解答：解：（1）∵圓C的圓心在直線x-y=0上，
∴設(shè)圓C方程為（x-a）²+（y-a）²=r²
又∵A（

5

，2

5

），B（-3，-4）在圓C上
∴

( 5 -a) 2+(2 5 -a) 2=r 2 (-3-a) 2+(-4-a) 2=r 2

，解之得a=0，r²=25
由此可得圓C的方程為x²+y²=25；
（2）設(shè)斜率為2且與圓C相切的直線為2x-y+m=0，
則圓心到直線的距離等于半徑r，
即d=

|m|

22+(-1)2

=5，解得m=±5

5

∴斜率為2且與圓C相切的直線的方程為2x-y±5

5

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題給出經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)且圓心在定直線的圓，求圓方程并求滿足特定條件的切線方程．著重考查了圓的方程、直線的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．