Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax．
（1）當a=1時，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為2，求a的值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出當a=1時，f（x）的解析式和導數(shù)，求出切線的斜率和切點，即可得到切線方程；
（2）求出導數(shù)，討論當a＞0，分若

1

a

≤1，若

1

a

≥e，若1＜

1

a

＜e，當a≤0時，通過函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最大值，解出即可得到a的值．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=lnx-x，
導數(shù)f′（x）=

1

x

-1，
曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為f′（1）=0，
又切點為（1，-1），
則切線方程為：y=-1；
（2）定義域為（0，+∞），f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，
①若a＞0時，由f′（x）＞0，得0＜x＜

1

a

，f′（x）＜0，得x＞

1

a

，
∴f（x）在（0，

1

a

）上單調(diào)遞增，在（

1

a

，+∞）單調(diào)遞減．
若

1

a

≤1，即a≥1時，f（x）在[1，e]單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（1）=-a=2，a=-2不成立；
若

1

a

≥e，即0＜a≤

1

e

時，f（x）在[1，e]單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（e）=1-ae=2，
∴a=-

1

e

不成立；
若1＜

1

a

＜e，即

1

e

＜a＜1時，f（x）在（1，

1

a

）單調(diào)遞增，在（

1

a

，e）單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（

1

a

）=-1-lna=2，解得，a=e^-3，不成立．
②當a≤0時，f′（x）＞0恒成立，則有f（x）在[1，e]遞增，
則有f（e）最大，且為1-ae=2，解得a=-

1

e

．
綜上知，a=-

1

e

．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查求切線方程和函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學思想，考查函數(shù)的最值，正確求導，合理分類是關鍵．