Question

18．已知函數(shù)$f（x）=lg\frac{x+1}{x-1}+lg（x-1）+lg（a-x）$ （a＞1）．
（I）求函數(shù)定義域并判斷是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于某一條垂直于x軸的直線對(duì)稱？若存在，求出這個(gè)實(shí)數(shù)a；若不存在，說明理由．
（II）當(dāng)f（x）的最大值為2時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （I）化簡可得f（x）=lg[-x²+（a-1）x+a]，由對(duì)數(shù)有意義可得1＜x＜a，由對(duì)稱軸重合可得a的方程，推出矛盾，a不存在；
（II）問題等價(jià)于t=-x²+（a-1）x+a在對(duì)稱軸x=$\frac{a-1}{2}$處取得最大值100，可得a的方程，解方程可得a值．

解答 解：（I）化簡可得$f（x）=lg\frac{x+1}{x-1}+lg（x-1）+lg（a-x）$ 
=lg[$\frac{x+1}{x-1}•（x-1）（a-x）$]=lg[-x²+（a-1）x+a]，
解$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{x-1}＞0}\\{x-1＞0}\\{a-x＞0}\end{array}\right.$可得1＜x＜a，
若存在的話這條直線應(yīng)該是x=$\frac{1+a}{2}$，
它應(yīng)該與t=-x²+（a-1）x+a的對(duì)稱軸x=$\frac{a-1}{2}$重合，
故$\frac{1+a}{2}$=$\frac{a-1}{2}$，矛盾，故不存在實(shí)數(shù)a滿足題意；
（II）問題等價(jià)于t=-x²+（a-1）x+a在對(duì)稱軸x=$\frac{a-1}{2}$處取得最大值100，
∴$\frac{4•（-1）•a-（a-1）^{2}}{4•（-1）}$=100，解得a=19，或a=-21（舍去），
∴當(dāng)f（x）的最大值為2時(shí)，實(shí)數(shù)a的值為19．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及二次函數(shù)的對(duì)稱性和最值，屬中檔題．