Question

已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π）．求值：（1）tanθ；（2）sin³θ+cos³θ

Answer 1

解∵sinθ+cosθ=，θ∈（0，π ），
∴（sinθ+cosθ ）²==1+2sinθ cosθ，
∴sinθ cosθ=-＜0．由根與系數(shù)的關(guān)系知，sinθ，cosθ 是方程x²- x-=0的兩根，
解方程得x₁=，x₂=-．
∵sinθ＞0，cosθ＞0，∴sinθ=，cosθ=-．
則tanθ=-； sin³θ+cos³θ=．
故（1）tanθ=-．（2）sin³θ+cos³θ=．
分析：利用sinθ+cosθ=，θ∈（0，π）．結(jié)合平方關(guān)系，求出sinθ，cosθ的值，然后代入直接求出（1）tanθ；（2）sin³θ+cos³θ的值即可．
點評：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的化簡求值，注意三角函數(shù)的各象限的三角函數(shù)的符號，考查計算能力．