Question

已知正項數(shù)列{a_n}中，a₁=2，點(

an

，an+1)在函數(shù)y=x²+1的圖象上，數(shù)列{b_n}中，點（b_n，T_n）在直線y=-

1

2

x+3上，其中T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列與解析幾何的綜合,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由點(

an

，an+1)在函數(shù)y=x²+1的圖象上，可得a_n+1=a_n+1，從而可知{a_n}為公差為1的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式可得答案；
（2）由點（b_n，T_n）在直線y=-

1

2

x+3上，得Tn=-

1

2

bn+3①，從而可得Tn+1=-

1

2

bn+1+3②，兩式作差可得數(shù)列遞推式，據(jù)此可判斷該數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項公式可得答案；

解答： 解：（1）因為點(

an

，an+1)在函數(shù)y=x²+1的圖象上，
所以a_n+1=a_n+1，故{a_n}為公差為1的等差數(shù)列，
又a₁=2，所以a_n=2+（n-1）•1=n+1．
（2）因為點（b_n，T_n）在直線y=-

1

2

x+3上，
所以Tn=-

1

2

bn+3①，
則Tn+1=-

1

2

bn+1+3②，
②-①得，b_n+1=-

1

2

b_n+1+

1

2

bn，即bn+1=

1

3

bn，
由T1=-

1

2

b1+3得b₁=2，
所以{b_n}是以

1

3

為公比的等比數(shù)列，
所以b_n=2•(

1

3

)n-1．

點評：本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合、等差數(shù)列等比數(shù)列概念，考查學生分析解決問題的能力．