Question

【題目】已知

（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；

（2）若存在使，得關(guān)于的方程有三個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）表示此時(shí)函數(shù)的解析式，求導(dǎo)分析單調(diào)性，即可求得最值.

（2）由于為分段函數(shù)，故分類討論兩段函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，將問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為的根存在三個(gè)，記，，令，令，分兩段求導(dǎo)分析函數(shù)圖象特征，進(jìn)而判定交點(diǎn)個(gè)數(shù)，求得參數(shù)取值范圍.

（1）當(dāng)時(shí)，，即

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

所以

（2），經(jīng)驗(yàn)證不是方程的根，

所以原方程的根等價(jià)于的根，

記，，令，，單調(diào)遞減，

令，即，

令為極大值點(diǎn)，其在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)，，

所以在無(wú)實(shí)數(shù)根

當(dāng)時(shí)，……①

有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，即，

故所以，

存在使①有三個(gè)實(shí)根所以滿足條件.

當(dāng)，的分子中，，顯然，所以①僅有一個(gè)正根，

要使有兩個(gè)負(fù)根，則﹐

綜上所﹐即.