Question

設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足

2x+y-2≥0 y≥2x-2 y≤2

，則x²+y²的取值范圍是（　�。�

• A．[

  4

  5

  ，8]
• B．[1，2

  2

  ]
• C．[1，8]
• D．[

  2 5

  5

  ，2

  2

  ]

Answer 1

分析：由題意，畫出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的三角形及其內(nèi)部，設(shè)P（x，y）是區(qū)域內(nèi)的動點(diǎn)，由兩點(diǎn)間的距離公式可得：z=x²+y²=|OP|²，再運(yùn)動點(diǎn)P并加以觀察即可求出z=x²+y²的取值范圍．

解答：解：畫出不等式組

2x+y-2≥0 y≥2x-2 y≤2

表示的平面區(qū)域如圖，
得到三角形及其內(nèi)部，其中A（1，1），
設(shè)P（x，y）是區(qū)域內(nèi)的動點(diǎn)，可得z=x²+y²=|OP|²，
運(yùn)動點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，|OP|取到最大值，
此時(shí)|OP|≤|OA|=2²+2²=8，
當(dāng)P與原點(diǎn)O在直線2x+y-2=0上的射影重合時(shí)，|OP|取到最小值，此時(shí)|OP|=

2

5

，
則x²+y²的取值范圍是[

4

5

，8]．
故選A．

點(diǎn)評：本題給出不等式組，求目標(biāo)函數(shù)z=x²+y²的取值范圍．著重考查了兩點(diǎn)的距離公式和簡單線性規(guī)劃等知識，屬于基礎(chǔ)題．