Question

（本小題滿分14分）
如圖，在棱長為a的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱AB和BC的中點(diǎn)，EF交BD于H。
（1）求二面角B₁—EF—B的正切值；
（2）試在棱B₁B上找一點(diǎn)M，使D₁M⊥平面EFB₁，并證明你的結(jié)論；
（3）求點(diǎn)D₁到平面EFB₁的距離。

Answer 1

，取B₁B的中點(diǎn)M，

（1）連AC、B₁H，則EF//AC，
∵AC⊥BD，所以BD⊥EF。
∵B₁B⊥平面ABCD，所以B₁H⊥EF，
∴∠B₁HB為二面角B₁—EF—B的平面角。 ………………2分
在

故二面角B₁—EF—B的正切值為 …………4分
      （2）在棱B₁B上取中點(diǎn)M，連D₁M、C₁M。

∵EF⊥平面B₁BDD₁，
所以EF⊥D₁M。 …………6分
在正方形BB₁C₁C中，因?yàn)镸、F分別為BB₁、BC的中點(diǎn)，
∴B₁F⊥C₁M …………8分
又因?yàn)镈₁C₁⊥平面BCC₁B₁，所以B₁F⊥D₁C₁，
所以B₁F⊥D₁M，
∴D₁M⊥平面EFB₁ ………………10分
（3）設(shè)D₁M與平面EFB₁交于點(diǎn)N，則D₁N為點(diǎn)D₁到平面EFB₁的距離�！�…11分
在Rt△MB₁D₁中， …………12分

故點(diǎn)D₁到平面EFB₁的距離為   ………………14分
解二：（1）在正方體中，以DA、DC、DD₁分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系
則
 ………………2分

設(shè)平面EFB₁的一個(gè)法向量為

故二面角B₁—EF—B的正切值為 …………4分
（2）設(shè)

 ………………10分
（3）
∴點(diǎn)D₁到平面EFB₁的距離…………14分