Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（ax+1）≤f（x-2）對任意x∈[

1

2

，1]都成立，則實數(shù)a的取值范圍是

（-∞，-5]

．

Answer 1

分析：根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同結(jié)合已知可得f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，進而可將f（ax+1）≤f（x-2）對任意x∈[

1

2

，1]都成立，轉(zhuǎn)化為ax+1≤x-2對任意x∈[

1

2

，1]都成立，即a≤

x-3

x

=1-

3

x

對任意x∈[

1

2

，1]都成立，即a小于等于函數(shù)y=1-

3

x

在[

1

2

，1]的最小值，利用單調(diào)性法求出函數(shù)y=1-

3

x

在[

1

2

，1]的最小值，可得實數(shù)a的取值范圍

解答：解：根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
故f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
若f（ax+1）≤f（x-2）對任意x∈[

1

2

，1]都成立，
則ax+1≤x-2對任意x∈[

1

2

，1]都成立，
即a≤

x-3

x

=1-

3

x

對任意x∈[

1

2

，1]都成立，
由函數(shù)y=1-

3

x

在[

1

2

，1]為增函數(shù)，
故x=

1

2

時，最最小值-5
即a≤-5
故實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-5]
故答案為：（-∞，-5]

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)恒成立問題，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應用，難度中檔．