Question

13．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x＞1}\\{（2-\frac{a}{2}）x+2，x≤1}\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，那么a的取值范圍是[$\frac{8}{3}$，4）．

Answer 1

分析 當(dāng)x＞1時(shí)f（x）=a^x單調(diào)遞增，當(dāng)x≤1時(shí)f（x）=（2-$\frac{a}{2}$）x+2單調(diào)遞增，且（2-$\frac{a}{2}$）×1+2≤a¹，由此能求出實(shí)數(shù)a取值范圍．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x＞1}\\{（2-\frac{a}{2}）x+2，x≤1}\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，
∴當(dāng)x＞1時(shí)f（x）=a^x單調(diào)遞增，則a＞1①；
當(dāng)x≤1時(shí)f（x）=（2-$\frac{a}{2}$）x+2單調(diào)遞增，
則2-$\frac{a}{2}$＞0，解得a＜4，②；
且（2-$\frac{a}{2}$）×1+2≤a¹，解得a≥$\frac{8}{3}$，③．
綜合①②③，得實(shí)數(shù)a取值范圍是[$\frac{8}{3}$，4）．
故答案為：[$\frac{8}{3}$，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．