Question

已知點(diǎn)A（x₁，y₁）在圓（x-2）²+y²=4上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A不與（0，0）重合，點(diǎn)B（4，y）在直線(xiàn)x=4上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿(mǎn)足．動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為F（x，y）=0．
（1）試用點(diǎn)M的坐標(biāo)x，y表示y，x₁，y₁；
（2）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程F（x，y）=0；
（3）以下給出曲線(xiàn)C的五個(gè)方面的性質(zhì)，請(qǐng)你選擇其中的三個(gè)方面進(jìn)行研究，并說(shuō)明理由．（若你研究的方面多于三個(gè)，我們將只對(duì)試卷解答中的前三項(xiàng)予以評(píng)分）
①對(duì)稱(chēng)性；
②頂點(diǎn)坐標(biāo)（定義：曲線(xiàn)與其對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)稱(chēng)為該曲線(xiàn)的頂點(diǎn)）；
③圖形范圍；
④漸近線(xiàn)；
⑤對(duì)方程F（x，y）=0，當(dāng)y≥0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出：=（x，y）.=（4，y）.=（4-x₁，y-y₁）．再由條件得∴即可解出示y，x₁，y₁；
（2）把所求的點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓（x-2）²+y²=4中，整理即可求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程F（x，y）=0；
（3）①先將方程中的（x，y）換成（x，-y），方程形式不變，得關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)；
②令y=0得x=0；得曲線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）；
③把軌跡方程F（x，y）=0整理锝，因?yàn)槠椒綌?shù)大于等于0得0≤x＜4，y∈R，
④0≤x＜4，，當(dāng)x→4時(shí)，y→∞，可得直線(xiàn)x=4是曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)．
解答：解：（1）由題得：=（x，y）.=（4，y）.=（4-x₁，y-y₁）．
∵．
∴⇒
（2）∵點(diǎn)A（x₁，y₁）在圓（x-2）²+y²=4上運(yùn)動(dòng)，
∴（x₁-2）²+y₁²=4⇒=4．
即=4．
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為=4．
整理得（x-4）（）=0⇒x=4或x³+xy²-4y²=0．
因?yàn)楫?dāng)x=4時(shí)，A的坐標(biāo)為（0，0），與題中條件相矛盾．
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是：x³+xy²-4y²=0．
（3）①關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)，
將方程中的（x，y）換成（x，-y），方程形式不變，故關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)；
②頂點(diǎn)為（0，0），
在方程中，令y=0得x=0；故曲線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）；
③圖象范圍是：0≤x＜4，y∈R．
∵≥0得0≤x＜4，y∈R．
④直線(xiàn)x=4是曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，
∵0≤x＜4，，當(dāng)x→4時(shí)，y→∞，
故直線(xiàn)x=4是曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用以及軌跡方程的求法，本題的難點(diǎn)在于對(duì)軌跡方程的整理，屬于一道難題．