Question

設(shè)F₁、F₂為橢圓16x²+25y²=400的焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn)，且∠F₁PF₂=120°，則△PF₁F₂的面積為________．

Answer 1

16
分析：根據(jù)橢圓的定義，得PF₁+PF₂=2a=10…①，再在△F₁PF₂中用余弦定理，得PF₁²+PF₂²+PF₁•PF₂=36…②．由①②聯(lián)解，得PF₁•PF₂=64，最后用根據(jù)正弦定理關(guān)于面積的公式，可得△PF₁F₂的面積．
解答：∵橢圓方程是，
∴a²=25，b²=16．可得a=5，c²=25-16=9，即c=3．
∵P是橢圓上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是焦點(diǎn)，
∴根據(jù)橢圓的定義，得PF₁+PF₂=2a=10…①
又∵△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°且F₁F₂=2c=6
∴根據(jù)余弦定理，得F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos120°=36
即PF₁²+PF₂²+PF₁•PF₂=36…②
∴①②聯(lián)解，得PF₁•PF₂=64
根據(jù)正弦定理，得△PF₁F₂的面積為：S=PF₁•PF₂sin120°=16．
故答案為：16．
點(diǎn)評：本題給出橢圓上一點(diǎn)對兩個(gè)焦點(diǎn)的張角為120°，求橢圓兩焦點(diǎn)與該點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積，著重考查了橢圓的簡單性質(zhì)和正、余弦定理等知識點(diǎn)，屬于中檔題．