Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為4正三角形，AA₁⊥平面ABC，AA₁=2

6

，M為A₁B₁的中點．
（Ⅰ）求證：MC⊥AB；
（Ⅱ）若點P為CC₁的中點，求二面角B-AP-C的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：計算題,作圖題,空間位置關系與距離,空間向量及應用

分析：（Ⅰ）取AB中點O，連接OM，OC，可證MO⊥AB，AB⊥CO，從而可證AB⊥平面OMC，從而可證MC⊥AB；
（Ⅱ）以O為原點，以

OB

，

OC

，

OM

的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系．如圖．依題意O（0，0，0），A（-2，0，0），B（2，0，0），C（0，2

3

，0），M（0，0，2

6

），P（0，2

3

，

6

）；從而求得

DB

=（3，-

3

，0）為平面PAC的一個法向量，

MC

=（0，2

3

，-2

6

）為平面PAB的一個法向量；從而求二面角B-AP-C的余弦值．

解答： 解：（I）取AB中點O，連接OM，OC．
∵M為A₁B₁中點，
∴MO∥A₁A，
又∵A₁A⊥平面ABC，
∴MO⊥平面ABC，
∴MO⊥AB；
∵△ABC為正三角形，
∴AB⊥CO，
又∵MO∩CO=O，
∴AB⊥平面OMC．
又∵MC?平面OMC，
∴AB⊥MC．
（II）以O為原點，以

OB

，

OC

，

OM

的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系．
如圖．依題意O（0，0，0），A（-2，0，0），B（2，0，0），C（0，2

3

，0），M（0，0，2

6

），P（0，2

3

，

6

）；
∴當P為線段CC₁的中點時，MC⊥平面ABP．
取線段AC的中點D，則D（-1，

3

，0），
易知DB⊥平面A₁ACC₁，
故

DB

=（3，-

3

，0）為平面PAC的一個法向量．
又由（II）知

MC

=（0，2

3

，-2

6

）為平面PAB的一個法向量．
設二面角B-AP-C的平面角為α，
則|cosα|=

| MC • DB |

| MC |•| DB |

=|

3×0- 3 ×2 3 -0×2 6

2 3 ×6

=

3

6

．
故二面角B-AP-C的余弦值為

3

6

．

點評：本題考查了異面直線垂直的證明，用到了線面垂直的判定與性質定理，同時考查了空間向量的應用，屬于難題．