Question

某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)）A和B，系統(tǒng)A和B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為

1

5

和P．
（Ⅰ）若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為

19

20

，求P的值；
（Ⅱ）設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，利用對(duì)立事件的概率計(jì)算公式能求出p．
（2）ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相對(duì)應(yīng)概率，由此能求出ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答： 解：（1）設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，
則1-P（

.

C

）=1-

1

5

×p=

19

20

，
解得p=

1

4

．
（2）ξ的可能取值為0，1，2，3
P（ξ=0）=

C

0 3

(

1

5

)3=

1

125

，
P（ξ=1）=

C

1 3

(

1

5

)2(1-

1

5

)=

12

125

，
P（ξ=2）=

C

2 3

×

1

5

×(1-

1

5

)2=

48

125

，
P（ξ=3）=

C

3 3

(1-

1

5

)3=

64

125

．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 125	12 125	48 125	64 125

Eξ=0×

1

125

+1×

12

125

+2×

48

125

+3×

64

125

=

12

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題．