Question

已知g（x）=ax+2，f（x）=

2x-1，0≤x≤3 -x2，-1≤x＜0

，對?x₁∈[-1，3]，?x₀∈[-1，3]，使g（x₁）=f（x₀）恒成立，則a的取值范圍是（　　）

• A、a≥-1
• B、-1≤a≤

  5

  3

• C、0＜a≤

  5

  3

• D、a≤

  5

  3

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：設A為函數(shù)g（x）=ax+2在[-1，3]上的值域，B為函數(shù)f（x）=

2x-1，0≤x≤3 -x2，-1≤x＜0

在[-1，3]上的值域，若?x₁∈[-1，3]，?x₀∈[-1，3]，使g（x₁）=f（x₀）恒成立，則A?B，進而可求得a的范圍．

解答： 解：設A為函數(shù)g（x）=ax+2在[-1，3]上的值域，
B為函數(shù)f（x）=

2x-1，0≤x≤3 -x2，-1≤x＜0

在[-1，3]上的值域，
若?x₁∈[-1，3]，?x₀∈[-1，3]，使g（x₁）=f（x₀）恒成立，
則A?B，
當x∈[-1，0）時，f（x）=-x²∈[-1，0）．
當x∈[0，3]時，f（x）=2^x-1∈[0，7]，
故B=[-1，7]，
當a＜0時，A=[3a，-a]，此時

3a+2≥-1 -a+2≤7

，
解得：a∈[-1，0），
當a=0時，A={2}，滿足條件；
當a＞0時，A=[-a，3a]，此時

-a+2≥-1 3a+2≤7

，
解得：a∈（0，

5

3

]，
綜上-1≤a≤

5

3

，
故選：B

點評：本題考查的知識點是分段函數(shù)，存在性問題，其中將已知轉化為兩個函數(shù)值域的包含關系，是解答的關鍵．