Question

4．已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=1，公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)b₁=1，公比為3的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列{c_n}滿(mǎn)足c_n=a_n•b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和即可．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=1，公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)b₁=1，公比為3的等比數(shù)列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，b_n=3^n-1．
（2）∵a_n=2n-1，b_n=3^n-1．
∴c_n=a_n•b_n=（2n-1）3^n-1．
則S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
即S_n=1•3⁰+3•3¹+…+（2n-1）•3^n-1，
3S_n=3+3•3²+5•3³+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ，
兩式相減得-2S_n=1+2•3+2•3²+2•3³+…+2•3^n-1-（2n-1）•3ⁿ
=1+$\frac{6（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）•3ⁿ
=-2+3ⁿ-（2n-1）•3ⁿ
=-2+（2-2n）•3ⁿ
則S_n=1+（n-1）•3ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，以及利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．