Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c，n∈N*，其中a，c為實(shí)數(shù)，且c≠0
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)a=

1

2

，c=

1

2

，bn=n(1-an)，n∈N*，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅲ）若0＜a_n＜1對(duì)任意n∈N*成立，證明0＜c≤1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）需要觀察題設(shè)條件進(jìn)行恒等變形，構(gòu)造a_n-1=c（a_n-1-1）利用迭代法計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)論求出數(shù)列的通項(xiàng)，觀察知應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和；
（Ⅲ）由（Ⅰ）的結(jié)論知a_n=（a-1）c^n-1+1．接合題設(shè)條件得出，0＜cn-1＜

1

1-a

(n∈N+)．然后再用反證法通過討論得出c的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)得：n≥2時(shí)，a_n-1=c（a_n-1-1）=c²（a_n-2-1）=…=c^n-1（a₁-1）=（a-1）c^n-1．
所以a_n=（a-1）c^n-1+1．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=a也滿足上式．
故所求的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：a_n=（a-1）c^n-1+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：bn=n(1-an)=n(

1

2

)n.Sn=b1+b2++bn=

1

2

+2(

1

2

)2+3(

1

2

)3++n(

1

2

)n，

1

2

Sn=(

1

2

)2+2(

1

2

)3+3(

1

2

)4++n(

1

2

)n+1
∴

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4++(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1．
∴Sn=1+

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4++(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n=2[1-(

1

2

)n]-n(

1

2

)n
所以∴Sn=2-(n+2)(

1

2

)n．
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知a_n=（a-1）c^n-1+1．
若0＜（a-1）c^n-1+1＜1，則0＜（1-a）c^n-1＜1．
因?yàn)?＜a₁=a＜1，∴0＜cn-1＜

1

1-a

(n∈N+)．
由于c^n-1＞0對(duì)于任意n∈N₊成立，知c＞0．
下面用反證法證明c≤1．
假設(shè)c＞1．由函數(shù)f（x）=c^x的圖象知，當(dāng)n→+∞時(shí)，c^n-1→+∞，
所以cn-1＜

1

1-a

不能對(duì)任意n∈N₊恒成立，導(dǎo)致矛盾．∴c≤1．因此0＜c≤1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法以及不等式的證明等；考查運(yùn)算能力，綜合運(yùn)送知識(shí)分析問題和解決問題的能力．第三問中特值法與反證法想接合，對(duì)做題方向與方法選取要求較高．是一個(gè)技能性較強(qiáng)的題．