Question

已知f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，f（-4）=-2，f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象如圖所示，若兩正數(shù)a，b滿足f（a+2b）＜2，則

a+4

b+4

的取值范圍是（　　）

• A．(

  1

  2

  ，

  3

  2

  )
• B．(

  1

  2

  ，

  2

  3

  )
• C．(

  2

  3

  ，2)
• D．(-2，-

  2

  3

  )

Answer 1

分析：由f（x）為奇函數(shù)及f（-4）=-2可求得f（4），根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可判斷f（x）的單調(diào)性，從而f（a+2b）＜2可化為a，b的不等式，畫出點(diǎn)（b，a）對(duì)應(yīng)的區(qū)域，

a+4

b+4

可看作（b，a）與（-4，-4）連線的斜率，由圖象可求得斜率范圍．

解答：解：∵f（-4）=-2，且f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
∴f（4）=-f（-4）=2，
則f（a+2b）＜2，可化為f（a+2b）＜f（4），
由導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象可知，f′（x）≥0，
∴f（x）在R上單調(diào)遞增，
則有a+2b＜4，
又a＞0，b＞0，
則點(diǎn)（b，a）對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖所示：

a+4

b+4

可看作（b，a）與（-4，-4）連線的斜率，設(shè)為k，
由圖象可知

0-(-4)

2-(-4)

＜k＜

4-(-4)

0-(-4)

，即

2

3

＜k＜2，
∴

2

3

＜

a+4

b+4

＜2，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系、斜率的計(jì)算公式，考查轉(zhuǎn)化思想．