Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圓上一點(diǎn)處的切線分別交軸軸于點(diǎn)，以為頂點(diǎn)且以為中心的橢圓記作，直線交于兩點(diǎn).

（1）若橢圓的離心率為，求點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）證明：四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1）.（2）證明見解析

【解析】

（1）由切線得，寫出直線方程，求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，然后分類討論求橢圓的離心率，由離心率是求得點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)方程為（且），由此寫出切線方程求得坐標(biāo)，得橢圓方程，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得點(diǎn)坐標(biāo)，求出，再求出，由對(duì)稱性可得，注意計(jì)算時(shí)，令（）換元，然后利用基本不等式和函數(shù)性質(zhì)可證得結(jié)論．

（1）依題意，

直線的方程為，

令得，

令得，

∴，

橢圓的方程為.

（1）若，

則橢圓的離心率，由得，而，

∴，則點(diǎn)；

（2）若，同理可得點(diǎn)，

綜上可得點(diǎn)坐標(biāo)為或.

（2）證明：直線的斜率為，依題意有且，

直線的方程為，

直線的方程為，

令得，令得，

∴，

橢圓的方程為，

聯(lián)立，解得

，

∴，，

，

∴，

，

設(shè)，

，

設(shè)，

則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，

∴，∴.