Question

18．已知常數a＞0，函數f（x）=ln（1+ax）-$\frac{2x}{x+2}$．討論f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調性．

Answer 1

分析 利用導數判斷函數的單調性，注意對a分類討論．

解答 解：∵f（x）=ln（1+ax）-$\frac{2x}{x+2}$，
∴f′（x）=$\frac{a}{1+ax}$-$\frac{4}{{（x+2）}^{2}}$=$\frac{{ax}^{2}-4（1-a）}{（1+ax{）（x+2）}^{2}}$，
∵（1+ax）（x+2）²＞0，
∴當1-a≤0時，即a≥1時，f′（x）≥0恒成立，
則函數f（x）在（0，+∞）單調遞增，
當0＜a≤1時，由f′（x）=0得x=±$\frac{2\sqrt{a（1-a）}}{a}$，
則函數f（x）在（0，$\frac{2\sqrt{a（1-a）}}{a}$）單調遞減，在（$\frac{2\sqrt{a（1-a）}}{a}$，+∞）單調遞增．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．