Question

（2013•南開區(qū)二模）如圖所示，正方形AA₁D₁D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，點E為AB的中點．
（1）求證：BD₁∥平面A₁DE
（2）求證：D₁E⊥A₁D；
（3）求點B到平面A₁DE的距離．

Answer 1

分析：（1）由題意，設(shè)O為AD₁的中點，則由三角形的中位線性質(zhì)可得OE∥BD₁，再利用直線和平面平行的判定定理證明BD₁∥平面A₁DE．
（2）由于D₁A 是D₁E在平面AA₁D₁D內(nèi)的射影，由正方形的性質(zhì)可得D₁A⊥A₁D，再利用三垂線定理可得D₁E⊥A₁D．
（3）由題意可得A、B兩點到平面A₁DE的距離相等，設(shè)為h，根據(jù) VA-A1DE=VA1-ADE，利用等體積法求得h的值．

解答：（1）證明：∵正方形AA₁D₁D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，點E為AB的中點，設(shè)O為AD₁的中點，
則由三角形的中位線性質(zhì)可得OE∥BD₁．
由于OE?平面A₁DE，BD₁不在平面A₁DE內(nèi)，故BD₁∥平面A₁DE．
（2）證明：由題意可得D₁A 是D₁E在平面AA₁D₁D內(nèi)的射影，由正方形的性質(zhì)可得D₁A⊥A₁D，
由三垂線定理可得D₁E⊥A₁D．
 （3）設(shè)點B到平面A₁DE的距離為h，由于線段AB和平面A₁DE交于點E，且E為AB的中點，
故A、B兩點到平面A₁DE的距離相等，即求點A到平面A₁DE的距離h．
由于S△A1DE=

1

2

×

2×

×

2

×sin60°=

3

2

，S△A DE=

1

2

×1×1=

1

2

，
∵VA-A1DE=VA1-ADE，
∴

1

3

•S△A1DE•h=

1

3

•S △A DE•A1A，即

1

3

×

3

2

×h=

1

3

×

1

2

×1，解得 h=

3

3

．

點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理、三垂線定理的應用，用等體積法求點到平面的距離，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．