Question

12．已知函數(shù)f（x）=log₂（x+$\frac{6}{x}$-a）的定義域為A，值域為B．
（1）當a=5時，求集合A；
（2）設I=R為全集，集合M={x|y=$\frac{{x}^{2}-x+1}{2（a-5）x+4（a-5）-8}$}，若（∁_IM）∪（∁_IB）=∅，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=5時，f（x）=log₂（x+$\frac{6}{x}$-5），令x+$\frac{6}{x}$-5＞0，解得x∈（0，2）∪（3，+∞）；
（2）∵（C_IM）∪（C_IB）=∅，∴C_IM=∅，C_IB=∅，由于全集I=R，所以，M=B=R，再分類討論求解．

解答 解：（1）當a=5時，f（x）=log₂（x+$\frac{6}{x}$-5），
令x+$\frac{6}{x}$-5＞0，解得x∈（0，2）∪（3，+∞），
即函數(shù)的定義域A={x|0＜x＜2或x＞3}
（2）∵（C_IM）∪（C_IB）=∅，
∴C_IM=∅，C_IB=∅，由于全集I=R，
所以，M=B=R，
①若B=R，即函數(shù)f（x）的值域為R，
 只要真數(shù)u（x）=x+$\frac{6}{x}$-a可取到一切正實數(shù)即可，
 則x＞0且u（x）_min≤0，
∴u（x）_min=2$\sqrt{6}$-a≤0，解得a≥2$\sqrt{6}$，
②若M=R，即函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-x+1}{2（a-5）x+4（a-5）-8}$的定義域為R，
 則a=5或$\left\{\begin{array}{l}a-5≠0\\△=4（a-5）2+16（a-5）＜0\end{array}$，
 解得1＜a≤5，
綜合以上討論得，實數(shù)a的取值范圍為[2$\sqrt{6}$，5]．

點評 本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及函數(shù)的值域和最值，集合的運算，體現(xiàn)了分類討論的解題思想，屬于中檔題．