Question

已知數(shù)列{a_n}是正項等比數(shù)列，公比q≠1，若lga₂是lga₁和1+lga₄的等差中項，且a₁a₂a₃=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）設(shè)cn=

1

n(3-lgan)

(n∈N*)，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由題知2lga₂=lga₁+（1+lga₄）=lg（10a₁a₄），即

a

2 2

=10a1a4，利用等比數(shù)列的通項，代入可求公比q，進(jìn)而可求a₁，通項
（2）由（1）得cn=

1

n(3-lgan)

=

1

n(3-lg102-n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項相消可求和

解答：解：（1）由題知2lga₂=lga₁+（1+lga₄）=lg（10a₁a₄），
∴

a

2 2

=10a1a4，即

a

2 1

q2=10

a

2 1

q3．
∵a₁＞0，q＞0，∴q=

1

10

．
∵等比數(shù)列{a_n}中，a₁a₂a₃=1，
∴a₂=1，∴a1=

a2

q

=10，
故{a_n}的通項公式為an=a1qn-1=10×(

1

10

)n-1=102-n．…（7分）
（2）由（1）得cn=

1

n(3-lgan)

=

1

n(3-lg102-n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Sn=c1+c2+…+cn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．…（12分）

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，數(shù)列的裂項求和是數(shù)列求和中的常用方法，要注意掌握