Question

已知f_n（x）=（1+x）ⁿ，（x≠0且x≠-1，n∈N^*）
（1）設(shè)g（x）=f₃（x）+f₄（x）+…+f₁₀（x），求g（x）中含x³的項(xiàng)的系數(shù)．
（2）若f_n（x）=a₀+a₁（x-2）+a₂（x-2）²+…+a_n（x-2）ⁿ，設(shè)S_n=

n

i=1

ai，試比較S_n與（n-2）•3ⁿ+（n+1）²的大小，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）根據(jù)g（x）=（1+x）³+（1+x）⁴+…+（1+x）¹⁰，可得含x³的項(xiàng)的系數(shù)為

C

3 3

+

C

3 4

+…+

C

3 10

=

C

4 11

，計(jì)算求得結(jié)果．
（2）在f_n（x）的展開式中，令x=2可得 a₀=3ⁿ，令x=3，可得 a₀+a₁+a₂+…+a_n=4ⁿ，S_n=

n

i=1

ai=4ⁿ-3ⁿ．比較S_n與（n-2）•3ⁿ+（n+1）²的大小，即比較4ⁿ 與（n-1）•3ⁿ+（n+1）²的大�。�分別令n=1，2，3，4，5，猜想：當(dāng)n≥5時(shí)，4ⁿ＞（n-1）•3ⁿ+（n+1）²，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答： 解：（1）∵g（x）=f₃（x）+f₄（x）+…+f₁₀（x）=（1+x）³+（1+x）⁴+…+（1+x）¹⁰，
∴含x³的項(xiàng)的系數(shù)為

C

3 3

+

C

3 4

+…+

C

3 10

=

C

4 11

=330．
（2）∵f_n（x）=a₀+a₁（x-2）+a₂（x-2）²+…+a_n（x-2）ⁿ，令x=2可得 a₀=3ⁿ，
令x=3，可得 a₀+a₁+a₂+…+a_n=4ⁿ，
∴S_n=

n

i=1

ai=4ⁿ-3ⁿ．
比較S_n與（n-2）•3ⁿ+（n+1）²的大小，即比較4ⁿ 與（n-1）•3ⁿ+（n+1）²的大�。�
當(dāng)n=1 時(shí)，4ⁿ=（n-1）•3ⁿ+（n+1）²，
當(dāng)n=2，3，4時(shí)，4ⁿ＜（n-1）•3ⁿ+（n+1）²．
當(dāng)n=5時(shí)，4ⁿ=1024，（n-1）•3ⁿ+（n+1）²=1008，4ⁿ＞（n-1）•3ⁿ+（n+1）²．
猜想：當(dāng)n≥5時(shí)，4ⁿ＞（n-1）•3ⁿ+（n+1）²．
下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：
①當(dāng)n=5時(shí)，不等式 4ⁿ＞（n-1）•3ⁿ+（n+1）² 成立．
②假設(shè) 4^k＞（k-1）•3^k+（k+1）²，則4^k+1=44^k＞4[（k-1）•3^k+（k+1）²]．
由4[（k-1）•3^k+（k+1）²]-[k•3^k+1+（k+2）²]=3^k（k-4）+（3k²+4k），
k≥5，∴k-4＞0，3^k（k-4）+（3k²+4k）＞0，
即4[（k-1）•3^k+（k+1）²]＞[（k+1）-1]3^k+1+[（k+1）+1]²，
故當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立，
故當(dāng)n≥5時(shí)，4ⁿ＞（n-1）•3ⁿ+（n+1）²，
即 S_n≥（n-2）•3ⁿ+（n+1）²．
綜上，當(dāng)n=1時(shí)，S_n=（n-2）•3ⁿ+（n+1）²；
當(dāng)n=2，3，4 時(shí)，S_n ＜（n-2）•3ⁿ+（n+1）²；
當(dāng)n≥5時(shí)，S_n＞（n-2）•3ⁿ+（n+1）²．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．