Question

3．某汽車運輸公司，購買了一批豪華大客車投入運營，據市場分析每一輛客車營運的總利潤y（單位：萬元）與營運年數x的函數關系是y=-3（x-6）²+33（x∈N^*）．
（Ⅰ）當營運年數x在什么范圍內時，每輛客車營運的總利潤不少于21萬元？
（Ⅱ）當每輛客車營運多少年時，其營運的年平均利潤最大？
（注：年平均利潤=$\frac{營運總利潤}{營運年數}$）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得-3（x-6）²+33≥21，運用二次不等式的解法，即可得到x的范圍；
（Ⅱ）欲使營運年平均利潤最大，即求$\frac{y}{x}$的最大值，故先表示出此式，再結合基本不等式即可求其最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得-3（x-6）²+33≥21，即為（x-6）2≤4，解得4≤x≤8，
則營運年數x∈[4，8]（x∈N^*）．
（Ⅱ）每輛客車營運年平均利潤為$\frac{y}{x}$=$\frac{-3（x-6）^{2}+33}{x}$=-3（x+$\frac{25}{x}$）+36，
由x＞0，可得x+$\frac{25}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{25}{x}}$=10，
當且僅當x=$\frac{25}{x}$時等號成立．解得x=5．
故$\frac{y}{x}$≤-3×10+36=6，
即每輛客車營運5年，可使其營運年平均利潤最大．

點評 本小題主要考查二次函數的性質、基本不等式在最值問題中的應用、基本不等式等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．