Question

定義區(qū)間（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的長(zhǎng)度均為d=b-a，多個(gè)區(qū)間并集的長(zhǎng)度為各區(qū)間長(zhǎng)度之和，例如，（1，2）∪[3，5）的長(zhǎng)度d=（2-1）+（5-3）=3．用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，記{x}=x-[x]，其中x∈R．設(shè)f（x）=[x]•{x}，g（x）=x-1，若用d₁，d₂，d₃分別表示不等式f（x）＞g（x），方程f（x）=g（x），不等式f（x）＜g（x）解集區(qū)間的長(zhǎng)度，則當(dāng)0≤x≤2011時(shí)，有（ ）
A．d₁=1，d₂=2，d₃=2008
B．d₁=1，d₂=1，d₃=2009
C．d₁=3，d₂=5，d₃=2003
D．d₁=2，d₂=3，d₃=2006

Answer 1

【答案】分析：先化簡(jiǎn)f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，再化簡(jiǎn)f（x）＞g（x），再分類(lèi)討論：①當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，②當(dāng)x∈[1，2）時(shí)③當(dāng)x∈[2，2011]時(shí)，從而得出f（x）＞g（x）在0≤x≤2011時(shí)的解集的長(zhǎng)度；對(duì)于f（x）=g（x）和f（x）＜g（x）進(jìn)行類(lèi)似的討論即可．
解答：解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，g（x）=x-1
f（x）＞g（x）⇒[x]x-[x]²＞x-1即（[x]-1）x＞[x]²-1
當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，[x]=0，上式可化為x＜1，∴x∈[0，1）；
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，[x]=1，上式可化為0＜0，∴x∈∅；
當(dāng)x∈[2，2011]時(shí)，[x]-1＞0，上式可化為x＞[x]+1，∴x∈∅；
∴f（x）＞g（x）在0≤x≤2011時(shí)的解集為[0，1），故d₁=1
f（x）=g（x）⇒[x]x-[x]²=x-1即（[x]-1）x=[x]²-1
當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，[x]=0，上式可化為x=1，∴x∈∅；
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，[x]=1，上式可化為0=0，∴x∈[1，2）；
當(dāng)x∈[2，2011]時(shí)，[x]-1＞0，上式可化為x=[x]+1，∴x∈∅；
∴f（x）=g（x）在0≤x≤2011時(shí)的解集為[1，2），故d₂=1
f（x）＜g（x）⇒[x]x-[x]²＜x-1即（[x]-1）x＜[x]²-1
當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，[x]=0，上式可化為x＞1，∴x∈∅；
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，[x]=1，上式可化為0＞0，∴x∈∅；
當(dāng)x∈[2，2011]時(shí)，[x]-1＞0，上式可化為x＜[x]+1，∴x∈[2，2011]；
∴f（x）＜g（x）在0≤x≤2011時(shí)的解集為[2，2011]，故d₃=2009
故選B
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，同時(shí)考查了創(chuàng)新能力，以及分類(lèi)討論的思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．