【題目】【湖南省2017屆高三長(zhǎng)郡中學(xué)、衡陽八中等十三校重點(diǎn)中學(xué)第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)】
已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),試求函數(shù)圖像過點(diǎn)的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),若關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解,試求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且不等式恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2)或;(3).
【解析】試題分析:對(duì)于(1),先利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率,再寫出點(diǎn)斜式方程;
對(duì)于(2),方程可化為:,構(gòu)造,通過研究的單調(diào)性即可求出的范圍.
對(duì)于(3),首先根據(jù)有兩個(gè)極值點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)求出的取值范圍以及極值點(diǎn);將恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立,然后構(gòu)建函數(shù)求出的最小值即可.
試題解析:
(1)當(dāng)時(shí),有.
∵,∴,
∴過點(diǎn)的切線方程為:,
即.
(2)當(dāng)時(shí),有,其定義域?yàn)椋?/span>,
從而方程可化為:,
令,則,
由或;.
∴在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
且,
又當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
∵關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解,
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是:或.
(3)∵的定義域?yàn)椋?/span>.
令.
又∵函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),
∴有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,
∴,且,
從而.
由不等式恒成立恒成立,
∵,
令,
∴,當(dāng)時(shí)恒成立,
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減,∴,
故實(shí)數(shù)的取值范圍是:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy上取兩個(gè)定點(diǎn) 再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),,且.
(Ⅰ)求直線與交點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(Ⅱ)過的直線與軌跡C交于P,Q,過P作軸且與軌跡C交于另一點(diǎn)N,F為軌跡C的右焦點(diǎn),若,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若,令函數(shù),求函數(shù)在上的極大值、極小值;
(Ⅱ)若函數(shù)在上恒為單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市居民自來水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:每戶每月用水不超過4噸時(shí),每噸為2.10元,當(dāng)用水超過4噸時(shí),超過部分每噸3.00元,某月甲、乙兩戶共交水費(fèi)y元.已知甲、乙兩用戶該月用水量分別為5x,3x噸.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù);
(2)如甲、乙兩戶該月共交水費(fèi)40.8元,分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費(fèi).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分14分)
某公司經(jīng)銷某產(chǎn)品,第天的銷售價(jià)格為(為常數(shù))(元∕件),第天的銷售量為(件),且公司在第天該產(chǎn)品的銷售收入為元.
(1)求該公司在第天該產(chǎn)品的銷售收入是多少?
(2)這天中該公司在哪一天該產(chǎn)品的銷售收入最大?最大收入為多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng).當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個(gè)正常工作時(shí),系統(tǒng)正常工作,已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8,則系統(tǒng)正常工作的概率為( )
A. 0.960 B. 0.864 C. 0.720 D. 0.576
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,對(duì)任意實(shí)數(shù),都有.
(1)若, ,且,求, 的值;
(2)若為常數(shù),函數(shù)是奇函數(shù),
①驗(yàn)證函數(shù)滿足題中的條件;
②若函數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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