Question

如圖，有一塊鋼板其邊緣由一條線段及一段拋物線弧組成，其中拋物線弧的方程為y=-2x²+2（-1≤x≤1）．計劃將此鋼板切割成等腰梯形，切割時以邊緣的一條線段為梯形的下底．
（1）若梯形上底長為2x，試求梯形面積S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求梯形面積S的最大值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）由已知拋物線弧的方程為y=-2x²+2（-1≤x≤1）．求出梯形的上底，下底及高，代入梯形面積公式，可得梯形面積S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)法，分析（1）中函數(shù)關(guān)系式的單調(diào)性，進(jìn)而可得梯形面積S的最大值．

解答： 解：（1）令y=-2x²+2=0，解得x=±1，
故梯形的下底長為2，
由梯形上底長為2x，可得梯形的高為-2x²+2，
故梯形面積S=

1

2

（2+2x）（-2x²+2）=-2x³-2x²+2x+2（-1≤x≤1），
（2）由（1）得：S′=-6x²-4x+2（-1≤x≤1），
令S′=0，解得：x=-1，或x=

1

3

，
當(dāng)-1≤x＜

1

3

時，S′＞0，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)

1

3

＜x≤1時，S′＜0，函數(shù)為減函數(shù)；
故當(dāng)x=

1

3

時，S最大值為：

32

27

．

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的最值及其幾何意義，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，難度中檔．