【題目】如圖,設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,上頂點為A,過點A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于點Q,且0,若過 A,Q,F(xiàn)2三點的圓恰好與直線相切,過定點 M(0,2)的直線與橢圓C交于G,H兩點(點G在點M,H之間).(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)設(shè)直線的斜率,在x軸上是否存在點P(,0),使得以PG,PH為鄰邊的平行四邊形是菱形?如果存在,求出的取值范圍;如果不存在,請說明理由;(Ⅲ)若實數(shù)滿足,求的取值范圍.

【答案】(1);(2);(3).

【解析】

試題(1)利用向量確定F1為F2Q中點,設(shè)Q的坐標為(-3c,0),因為AQ⊥AF2,所以b2=3c×c=3c2,a2=4c×c=4c2,再由直線與圓相切得 解得c=1,利用橢圓基本量之間的關(guān)系求b;(2)假設(shè)存在,設(shè)方程,聯(lián)立方程組,消元后由判別式大于0可得出,又四邊形為菱形時,對角線互相垂直,利用向量處理比較簡單,,化簡得(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k=0,再由 代入化簡得:

解得,利用均值不等式范圍;(3) 斜率存在時設(shè)直線方程,聯(lián)立消元,,再由,進行坐標運算,代入化簡,分離k與,利用k的范圍求,注意驗證斜率不存在時情況.

試題解析:(1)因為0,所以F1為F2Q中點

設(shè)Q的坐標為(-3c,0),因為AQ⊥AF2,所以b2=3c×c=3c2,a2=4c×c=4c2,

且過A,Q,F(xiàn)2三點的圓的圓心為F1(-c,0),半徑為2c.

因為該圓與直線L相切,所以 解得c=1,所以a=2,故所求橢圓方程為.(2)設(shè)L1的方程為y=kx+2(k>0)由得(3+4k2)x2+16kx+4=0,

由△>0,得 所以k>1/2,設(shè)G(x1,y1),H(x2,y2),則所以(x1-m,y1)+(x2-m,y2=(x1+x2-2m,y1+y2=(x1+x2-2m,k(x1+x2)+4)(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1,k(x2-x1)),由于菱形對角線互相垂直,因此所以(x2-x1)[(x1+x2)-2m]+k(x2-x1)[k(x1+x2)+4]=0,故(x2-x1)[(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k]=0因為k>0,所以x2-x1≠0所以(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k=0,即(1+k2)(x1+x2)+4k-2m=0,所以

,解得, 因為k>0,所以故存在滿足題意的點P且m的取值范圍是.(3)①當直線L1斜率存在時,設(shè)直線L1方程為y=kx+2,代入橢圓方程,得(3+4k2)x2+16kx+4=0 , 由△>0,得,設(shè)G(x1,y1),H(x2,y2), 則,又,所以(x1,y1-2)=λ(x2,y2-2), 所以x1=λx2, 所以,∴,整理得 ,因為, 所以 ,解得又0<λ<1,所以 .②當直線L1斜率不存在時,直線L1的方程為x=0,

,,,所以 .綜上所述,

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1)若,,均在集合中,求證:函數(shù);

2)若函數(shù))在集合中,求實數(shù)的取值范圍;

3)若集合中的函數(shù)均為定義在上的一次函數(shù),求證:存在一個實數(shù),使得對一切,均有.

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